W pracy przedstawione są dwie klasy przybliżonych metod rozwiązywania równań różniczkowo funkcyjnych ze szczególnym uwzględnieniem równań różniczkowych z opóźnieniem. Do pierwszej klasy należą metody bezpośrednie reprezentowane w przedkładanej rozprawie przez dwukrokowe metody Rungego – Kutty. Należą one do klas ogólnych metod liniowych rozwiązywania równań różniczkowych. Drugą klasę przybliżonych metod liniowych rozwiązywania równań różniczkowo funkcyjnych stanowią metody iteracyjne reprezentowane w tej pracy przez metody typu „waveform relaxation” (WR w skrócie). Ponieważ za pomocą równań różniczkowo funkcyjnych można modelować wiele zjawisk występujących w biologii, w epidemiologii, w technice oraz wielu innych dziedzinach nauki przybliżone metody rozwiązywania takich równań pojawiających się w procesie modelowania wymienionych zagadnień stanowią cenne narzędzie umożliwiające ich badanie.

W mającym charakter wprowadzający rozdziale 1 podane są przykłady różnych klas równań różniczkowo funkcyjnych zaczynając od bardzo prostych i kończąc na dużo bardziej skomplikowanych. Podane są również przykłady równań modelujących pewne zagadnienia z rozwoju populacji, epidemiologii, modelujące pewne reakcje chemiczne oraz inne zagadnienia techniczne. Naszkicowany został rozwój bezpośrednich i iteracyjnych metod rozwiązywania równań różniczkowo funkcyjnych na przestrzeni kilkudziesięciu lat. Omówione zostały też zalety i wady tych dwóch klas metod. Podane zostały również niezbędne definicje pojęć i terminów występujących w dwóch następnych rozdziałach.

Rozdział 2 poświęcony jest dwukrokowym metodom Rungego – Kutty i konstrukcji interpolacji dających tzw. ciągły „output”, tj. pozwalającym na obliczenie przybliżonego rozwiązania równania w dowolnym punkcie t [t_i, t_i+1] pomiędzy węzłami t_i i t _i+1 na podstawie przybliżonych wartości rozwiązania w tych węzłach oraz pewnych innych wielkościach otrzymanych w trakcie obliczeń przybliżeń w węzłach. Takie metody mogą być użyte do rozwiązywania równań różniczkowo funkcyjnych. Opisane zostały konstrukcje metod uwikłanych i nieuwikłanych wysokiego i niskiego rzędu, które są odpowiednie do rozwiązywania tzw. równań sztywnych i niesztywnych. Mogą one być wykorzystane przy użyciu jednoprocesorowych jak i wieloprocesorowych komputerów pozwalających na obliczenie równoległe. Pokazano również jak uzyskane metody mogą być zaimplementowane dla zmiennego kroku. Przeprowadzona została analiza ich stabilności gdy stosuje się je do rozwiązywania równań różniczkowych z opóźnieniem. Podane zostały też oszacowania błędów, które wykorzystuje się w strategii wyboru długości kroku. Skonstruowane metody zostały przetestowane na wielu równaniach różniczkowo funkcyjnych stawiających duże wymagania od przybliżonych metod ich rozwiązywania.

Rozdział 3 poświęcony jest metodom iteracyjnym rozwiązywania równań różniczkowych funkcyjnych, a głównie różnym metodom typu „waveform relaxation” dla równań różniczkowych z opóźnieniem. Badane są w nim warunki gwarantujące zbieżność takich metod zastosowanych do rozwiązywania równań różniczkowych z opóźnieniem typu neutralnego i nieneutralnego. Często warunki gwarantujące zbieżność metody pozwalały tez udowodnić istnienie i jednoznaczność rozwiązania rozpatrywanego zagadnienie. Szczególna uwaga została poświęcona oszacowaniom błędów przybliżeń kolejnych iteracji uwzględniającym wpływ występującego w równaniu opóźnienia na wielkość błędu, którego zaniedbanie powoduje utratę pewnych ważnych własności (np. uzyskanie rozwiązanie zaburzonego tylko błędami zaokrągleń w obliczeniach po skończonej liczbie iteracyjnej). W rozdziale tym rozpatrzone zostały również tzw. zaburzone ciągłe względem czasu metody typu WR jak i wiele metod typu iteracyjnego dla układów równań różniczkowo algebraicznych. Uzyskane rezultaty zostały zweryfikowane na numerycznych przykładach.

Wszystkie wyniki stanowiące treść rozdziału 2 i 3 zostały uzyskane przez autora tej rozprawy wraz z współautorami prac cytowanych w bibliografii.